Inecuaciones Matematicas

En matemática, una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas en los miembros de la desigualdad. Si la desigualdad es del tipo o se denomina inecuación en sentido estricto y si es del tipo ≤ o ≥ se denomina inecuación en sentido amplio.

Del mismo modo en que se hace la diferencia de igualdad y ecuación, una inecuación que es válida para todas las variables se llama inecuación incondicional y las que son válidas solo para algunos valores de las variables se conocen como inecuaciones condicionales. Los valores que verifican la desigualdad, son sus soluciones.

Las desigualdades son expresiones de la forma A<B, donde A y B pueden ser expresiones numéricas ó algebraicas y el símbolo "<(menor que)" podría ser  >(mayor que) ó  ≤(menor ó igual que)"  ó ≥(mayor ó igual que). A la expresión que hay a la izquierda le llamaremos primer miembro y a la que hay a la derecha, segundo miembro.

Ejemplo: 2·4-1<10 es una desigualdad "cierta" (equivalente a 7<10). En esta última, el primer miembro es 7 y el segundo 10.

Regla de la suma: Si sumamos (o restamos) una misma cantidad a los dos miembros de una desigualdad, obtenemos otra desigualdad equivalente del mismo sentido. O sea,  A<B  Û A+C<B+C para cualquier cantidad C.

Si sumamos 2 unidades a los dos miembros de la desigualdad anterior, tendremos que 7+2<10+2, ó sea, 9<12 (cierto).

Restando 3 unidades (por ejemplo) a los dos miembros, tendremos 7-3<10-3, ó sea, 4<7 (cierto).

Regla del producto: Si multiplicamos (o dividimos)  los dos miembros de una desigualdad por una misma cantidad (distinta de cero) , obtenemos otra desigualdad equivalente, del mismo sentido si C>0 y de sentido contrario si C<0. O sea,  A<B  Û (A·C<B·C si C es una cantidad positiva ó A·C>B·C si C es una cantidad negativa).

Si en la desigualdad 7<10 multiplicamos los dos miembros por 2, tendremos que 7·2<10·2, ó sea, 14<20.

Si lo hacemos por (-2), tendremos 7·(-2)>10·(-2), ó sea, -14>-20. (Observa que lo que antes era "<" se ha convertido ahora en ">"; la desigualdad ha cambiado de sentido).

Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas. A las letras de dichas expresiones algebraicas les llamaremos incógnitas, y dependiendo de cuantas haya, diremos que se trata de una inecuación con una, dos, tres,...incógnitas.

Ejemplo: 3x-4≤2 es una inecuación con una incógnita (x).

Los valores de la incógnita(as) que hacen cierta la desigualdad se llaman soluciones de la inecuación. Para la inecuación anterior, x=0 es solución (porque es cierto que 3·0-4≤2), pero x=3 no es solución (porque no es cierto que 3·3-4≤2).

Resolver una inecuación consiste en encontrar todas sus soluciones.

Diremos que dos inecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Por ejemplo, 3·x-4≤2 es equivalente a 3·x≤6 ó a x≤2.

Podemos utilizar la Regla de la suma y la Regla del producto para transformar una inecuación en otra equivalente más sencilla de resolver.

Por ejemplo:

4x-3≤ 5+2x Û (Sumando 3 a los dos miembros) 4x≤ 8+2x Û (Restando 2x en los dos miembros) 4x-2x≤ 8 Û 2x≤ 8 Û (Dividiendo por 2 en los dos miembros) x≤ 4; luego las soluciones de esta inecuación son todos los números del intervalo (-∞,4].

^{Nota: Si fuese 4x-3 < 5+2x, la solución sería el intervalo (-∞,4).}

En las páginas siguientes aprenderemos a resolver distintos tipos de inecuaciones.

 Ejercicios

Ejercicios de inecuaciones

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